Osudovosť aktívnej a pasívnej linky

Neraz diskutujeme o tom, že ak pár sedí na pasívnej linke, tak nemá svoj osud vo vlastných rukách, hlavne ak rozdanie hrá proti silným súperom. Je to tak? Ak to tak je, prečo je to tak?

V prvom rade by sme mali definovať, čo to tá aktívna linka vlastne je. Intuitívna  definícia je:

(1) Aktívna linka je tá, ktorá má viac figúrových bodov.

Rozdanie však máva viacero charakteristík a prevaha FB ešte nemusí znamenať, že zohrávať má táto linka.

Iná intuitívna definícia je:

(2a) Aktívna linka je tá, ktorá má lepšie karty.

To isté preformulované do merateľnej podoby:

(2b) Aktívna linka je tá, na ktorej strane je minimax.

Až na hraničné prípady obe definície predstavujú binomické rozdelenie s pravdepodobnosťou 0,5. V prvej definícii sú hraničným prípadom rozdania v ktorých majú obe linky po 20 FB. Aby sa definícia zmenila na skutočne binomické rozdelenie, môžeme pridať ďalšiu podmienku: ak majú obe linky rovnaký počet FB, aktívnou linkou je linka, ktorej členom je dealer.

V druhej definícii sú hraničnými prípadmi rozdania, v ktorej žiadna linka v žiadnom záväzku nemá aspoň 7 zdvihov. Kým 20 FB na linke má pomerne vysokú pravdepodobnosť, dokonca je to najpravdepodobnejšie rozdelenie FB, minimax rovný nule sa vyskytuje veľmi zriedkavo. Môžeme však doplniť podobnú podmienku: ak je minimax rovný 0, aktívnou linkou je linka, ktorej členom je dealer.

V ďalšom texte budem za aktívnu linku pokladať linku, na ktorej strane je minimax.

Binomické rozdelenie

Diskrétna náhodná premenná [tex][preamble][/preamble]$X$[/tex] má binomické rozdelenie s parametrami [tex][preamble][/preamble]n[/tex] a  [tex][preamble][/preamble]$p$[/tex], pričom [tex][preamble][/preamble]$n \in \mathbb{N}$[/tex] a [tex][preamble][/preamble]$p \in (0, 1)$[/tex], ak nadobúda hodnoty [tex][preamble][/preamble]$k = 0, 1, 2, …, n$[/tex] s pravdepodobnosťami [tex][preamble][/preamble]$ p_{0}, p_{1}, p_{2}, …,p_{n}$[/tex], pričom platí nasledovný vzťah:
[latex]$p_{k}=P(X=k)=\displaystyle {n \choose k }p^{k}(1-p)^{n-k}$[/latex]

Či je minimax na linke NS alebo EW je rovnako pravdepodobné. Ak budeme hrať proti tomu istému páru 10 rozdaní, hore uvedený vzťah prejde do tvaru:

[latex]$p_{k}=\displaystyle \frac{ {10 \choose k }}{1024}$[/latex]

Zadaním vzorca do tabuľkového kalkulátora dostávame:
[latex]
\begin{tabular}{|c|r|r|}
\hline
k & $10 \choose k$ & p_k\\
\hline
\hline
%…
0 & 1 & 0,0010 \\
1 & 10 & 0,0098 \\
2 & 45 & 0,0439 \\
3 & 120 & 0,1172 \\
4 & 210 & 0,2051 \\
5 & 252 & 0,2461 \\
6 & 210 & 0,2051 \\
7 & 120 & 0,1172 \\
8 & 45 & 0,0439 \\
9 & 10 & 0,0098 \\
10 & 1 & 0,0010 \\
\hline \end{tabular} [/latex]
[latex]
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[bar width=18pt,
symbolic x coords={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
xlabel = {k},
ylabel = {$10 \choose k$},
xtick=data]
\addplot[ybar,fill=red] coordinates {
(0,1) (1,10) (2,45) (3,120) (4,210)
(5,252)(6,210)(7,120)(8,45) (9,10)(10,1)
};
\addplot[ybar,fill=pink] coordinates {
(4,210)
};

\addplot[ybar,fill=green] coordinates {
(5,252) (6,210)(7,120)(8,45) (9,10)(10,1)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
[/latex]
Čiže v jednom prípade z 1024 nebudeme mať ani raz aktívnu linku, je 65,63% pravdepodobnosť, že ju budeme mať 4 až 6 krát a 89,06%, že ju budeme mať 3 až 7 krát.

Histogram pre 30 rozdaní
[latex]
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\begin{axis}[bar width=10pt,
width=1\textwidth,
symbolic x coords={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30},
xlabel = {k},
ylabel = {$30 \choose k$},
xtick=data]
\addplot[ybar,fill=red] coordinates {
(0,1)
(1,30)
(2,435)
(3,4060)
(4,27405)
(5,142506)
(6,593775)
(7,2035800)
(8,5852925)
(9,14307150)
(10,30045015)
(11,54627300)
(12,86493225)
(13,119759850)
(14,145422675)
(15,155117520)
(16,145422675)
(17,119759850)
(18,86493225)
(19,54627300)
(20,30045015)
(21,14307150)
(22,5852925)
(23,2035800)
(24,593775)
(25,142506)
(26,27405)
(27,4060)
(28,435)
(29,30)
(30,1)
};
\addplot[ybar,fill=pink] coordinates {
(12,86493225)
(13,119759850)
(14,145422675)

};
\addplot[ybar,fill=green] coordinates {

(15,155117520)
(16,145422675)
(17,119759850)
(18,86493225)
(19,54627300)
(20,30045015)
(21,14307150)
(22,5852925)
(23,2035800)
(24,593775)
(25,142506)
(26,27405)
(27,4060)
(28,435)
(29,30)
(30,1)
};

};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
[/latex]

Pre 30 rozdaní je 57,22% pravdepodobnosť, že budete v zelenej oblasti a 89.98% pravdepodobnosť, že budete v zelenej alebo ružovej oblasti.

Je osud silných párov, keď hrajú proti sebe v nevyrovnanom poli v rukách poľa?

Do značnej miery zákonite áno, najčastejšie je v rukách poľa osud pasívnej linky, ale vyskytujú sa aj rozdania, keď je „poškodený“ silný pár na aktívnej linke.

Čím sa líši silný pár od slabého?

Komplexne silný pár lepšie draží, lepšie zohráva, lepšie bráni, než slabý pár. Teda:

  • častejšie hrá správny záväzok blízky minimaxu
  • častejšie správny záväzok plní
  • keď už je v nesprávnom záväzku a obrana mu dá šancu, tak ho znova častejšie splní
  • častejšie nesprávne záväzky súpera poráža
  • častejšie v správnych záväzkoch súpera nezadá nadzdvih
  • vie lepšie odhadnúť, kedy záväzok súperov kontrovať a kedy prelicitovať

Ak uvedené tézy platia, tak ak silný pár sedí na aktívnej linke štatisticky musí mať lepšie výsledky než jeho silný súper, ale musia sa vyskytnúť aj rozdania, kde je silný súper na pasívnej linke vo výhode.  Keďže z troch bridžových umení:

  • dražba
  • zohrávka
  • obrana

prvé dve hovoria pre aktívnu linku (až na prípady, keď pasívna linka má dražiť záväzok, ktorý chce padať s kontrou), ak predpokladáme, že všetky tri umenia majú rovnaký podiel na úspešnosti hry, odhadom možno povedať, že v 2/3 rozdaní bude na tom aktívna linka lepšie a v 1/3 horšie (sú aj neutrálne rozdania, keď chyby poľa šli jedným aj druhým smerom alebo pole neurobilo chybu, ak je takých 25%, potom sa ten pomer zmení na 1/2 a 1/4).

Čiže, ak hráme zápas a ani jeden pár nespraví chybu, náš výsledok závisí od poľa a charakteristík rozdaní: či sú náročné na dražbu, zohrávku alebo obranu. Pokiaľ sa však niektorý z párov pri stole dopustil chyby (chýb), tak je osud zápasu v rukách jeho súperov, či tieto chyby dokážu adekvátne potrestať.

Je táto osudovosť vyššia v impových alebo v topskórových turnajoch?

Ako som písal v článku TIMPY, všetci trpíme optickým klamom, ktorý je spôsobený tým, že Impy môžu ísť aj do záporných hodnôt, kým MP sú vždy nezáporné, takže sa nám často iba zdá, že nás pole v impovom turnaji môže poškodiť väčšmi, než v topskórovom. Keď však zmeníme topskórove hodnotenie na hru s nulovým súčtom a mieru tohto hodnotenia nastavíme tak, aby súčet absolútnych hodnôt TIMP a IMP bol približne rovnaký, tak sa dá skúmať, v ktorom hodnotení je táto osudovosť silnejšia a v ktorom slabšia.

Moja hypotéza je: V topskórovom hodnotení je silnejšia

Ján Pankovič a odporcovia impových turnajov sú presvedčení, že je silnejšia v Impových turnajoch.

Je však celkom možné, že: Oba druhy hodnotenia majú mieru osudovosti rovnakú.

Pravdepodobne to tiež závisí od charakteristiky poľa. Ak je pole silne nevyrovnané, tak je to kto vyhrá do značnej miery vecou náhody. Svojho času som robil simulácie na túto tému a tam jednoznačne táto náhodnosť konečného výsledku s nevyrovnanosťou poľa mala tendenciu stúpať.

Ako môžeme tieto tri hypotézy otestovať?

V databáze máme viac než 10000 výsledkov, otestujeme, ako silné páry dopadli v topskórovom a ako by dopadli v impovom hodnotení, keď mali aktívnu alebo pasívnu linku (nie je to celkom presné, lebo v inom druhu hodnotenia by sa niekedy dražilo a zohrávalo inak).

S rastúcim počtom rozdaní vplyv poľa klesá, keďže pole sa chová štatisticky neutrálne – raz kladne ovlyvní výsledok jednej, raz druhej linky, tieto fluktuácie vplyvu poľa sú v priemere rovné nule pre nekonečný počet rozdaní a s rastom počtu rozdaní smeruje tento priemer k nule. Tieto fluktuácie zase majú čo sa týka znamienka binomické rozdelenie. Čo sa týka veľkosti, tak s rastúcou absolútnou hodnotou vplyvu klesá jeho pravdepodobnosť  teda: najpravdepodobnejšie je, že pole výsledok neovplyvní, menej pravdepodobné je, že ho ovplyvní 1 IMP, ešte menej 2 IMP,… až mizivá je, že ho ovplyvní vo výške 24 IMP (neoverená hypotéza). V TIMP je to maximum vplyvu definitoricky dané na 10, s rastúcim počtom stolov klesá pravdepodobnosť toho, že tento vplyv bude 10 a mala by klesať aj priemerná hodnota tohto vplyvu (Mám tu na mysli vplyv poľa na „normálny“ výsledok).

Ako merať osudovosť?

Nejeden pár sa po turnaji sťažuje, že sa pole voči nemu spiklo, vraví „Pole hralo proti nám„, hráči majú tendenciu si všímať, keď boli poľom poškodení, ale obvykle prehliadajú, že v iných rozdaniach im pole pomohlo.

Na vine našich zlých výsledkov je pole, príčinou našich dobrých výsledkov sme my 🙂

Ako sme už vyššie ukázali, pole je voči každému páru dlhodobo štatisticky neutrálne, v konkrétnych turnajoch sa však niekedy častejšie prikloní na našu stranu, inokedy na opačnú. Ak by všetci hráči mali rovnakú výkonnostnú úroveň, tak by konečné poradie bolo vecou číročírej náhody, keďže však rovnakú úroveň mať nemôžeme, výkonnostne silnejšie páry sú obvykle lepšie umiestnené než výkonnostne slabšie, ale ako ukázal simulátor turnajov, najlepší nemusí vždy vyhrať a výnimočne sa pošťastí vyhrať aj najslabšiemu.

Osud je v konkrétnom rozdaní voči páru priaznivo naklonený, ak by normálny výsledok rozdania bol pre pár v pluse a nepriaznivo, ak by normálny výsledok rozdania bol pre pár v mínuse.

Čo je normálny výsledok?

Normálny výsledok je taký, ktorý by hráči mali s danými kartami dosiahnuť

Keďže takáto definícia je vágna, definujme normálny výsledok takto:

Normálny výsledok je výsledok rovný minimaxu

Obvykle bude minimax dobrým kritériom, sú však rozdania, kde je minimax len teoreticky možným výsledkom – veľký slem na 6 tromfov na linke delených 4-2, 3BT na 16 FB, …, inokedy tam síce záväzok podľa minimaxu nie je, ale na väčšine stolov sa záväzok plní, lebo ho poráža iba nelogická obrana. Ak však majú byť výsledky z databázy vyhodnotené automaticky, minimax bude asi jediným vhodným kritériom.

Rozdania vyhodnotíme voči minimaxu na IMP a TIMP a spočítame nakoľko bol osud voči páru v danom turnaji krutý alebo priaznivý. Toto potom vyhodnotíme iba vo vzťahu k vzájomných zápasov vytypovaných silných párov.